Vecteurs colinéaires

Définition

Deux vecteurs non nuls \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) du plan sont dits colinéaires s'il existe un nombre réel \(\color{red}{k}\) tel que \(\vec{u}=\color{red}{k}\,\vec{v}\).

Remarque

Le vecteur nul est colinéaire à tous les vecteurs du plan.

Propriété

Soit `\vec{u}` et `\vec{v}` deux vecteurs non nuls du plan.
Les vecteurs `\vec{u}` et `\vec{v}` sont colinéaires si, et seulement si, ils ont la même direction.

Propriété

Soit \(\color{blue}{\vec{u}}\) et \(\color{green}{\vec{v}}\) deux vecteurs de coordonnées respectives \(\color{blue}{\begin{pmatrix}x\\y \end{pmatrix}}\) et \(\color{green}{\begin{pmatrix}x'\\y' \end{pmatrix}}\) dans un repère du plan.
Les vecteurs \(\color{blue}{\vec{u}}\) et \(\color{green}{\vec{v}}\) sont colinéaires si et seulement si :

• leurs coordonnées sont proportionnelles ;
  
• \(\text{det}(\color{blue}{\vec{u}}\,;\color{green}{\vec{v}})=0\) où le réel \(\text{det}(\color{blue}{\vec{u}}\,;\color{green}{\vec{v}})=\begin{vmatrix} \color{blue}{x} & \color{green}{x'} \\ \color{blue}{y} & \color{green}{y'} \end{vmatrix}=\color{blue}{x}\color{green}{y'}-\color{blue}{y}\color{green}{x'}\) est le déterminant des vecteurs \(\color{blue}{\vec{u}}\) et \(\color{green}{\vec{v}}\).

Exemple

On se place dans un repère \((\text{O}\,;\vec{i},\vec{j})\) du plan.
On considère les vecteurs \(\vec{u}\begin{pmatrix}-4\\2 \end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix}6\\-3 \end{pmatrix}\).
\(\text{det}(\color{blue}{\vec{u}}\,;\color{green}{\vec{v}})=\begin{vmatrix} \color{blue}{-4} & \color{green}{6} \\ \color{blue}{2} & \color{green}{-3} \end{vmatrix}=\color{blue}{(-4)} \times \color{green}{(-3)}-\color{blue}{2} \times \color{green}{6}=12-12=0\).
Les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont donc colinéaires. On a \(\vec{u}=\color{red}{-\dfrac{2}{3}}\vec{v}\).